Generalized Filtering Decomposition

This paper introduces a new preconditioning technique that is suitable for matrices arising from the discretization of a system of PDEs on unstructured grids. The preconditioner satisfies a so-called filtering property, which ensures that the input matrix is identical with the preconditioner on a given filtering vector. This vector is chosen to alleviate the effect of low frequency modes on convergence and so decrease or eliminate the plateau which is often observed in the convergence of iterative methods. In particular, the paper presents a general approach that allows to ensure that the filtering condition is satisfied in a matrix decomposition. The input matrix can have an arbitrary sparse structure. Hence, it can be reordered using nested dissection, to allow a parallel computation of the preconditioner and of the iterative process. Key-words: linear solvers, Krylov subspace methods, preconditioning, filtering property, block incomplete decomposition ∗ INRIA Saclay Ile de France, Laboratoire de Recherche en Informatique Universite Paris-Sud 11, France ([email protected]). † Laboratoire J.L. Lions, CNRS UMR7598, Universite Paris 6, France ([email protected]). Décomposition à base de filtrage généralisée Résumé : Ce document présente une nouvelle technique de préconditionnement adapté pour les matrices issues de la discrétisation d’un système d’équations aux dérivées partielles sur des maillages non structurés. Le préconditionneur satisfait une propriété dite de filtrage, qui signifie que la matrice d’entrée est identique au préconditionneur pour un vecteur donné de filtrage. Le choix de ce vecteur permet d’atténuer l’effet des modes de basse fréquence sur la convergence et ainsi de diminuer ou d’éliminer le plateau qui est souvent observé dans la convergence des méthodes itératives. En particulier, le document présente une approche générale qui permet d’assurer que la propriété de filtrage est satisfaite lors d’une décomposition matricielle. La matrice d’entrée peut avoir une structure creuse arbitraire. Ainsi, elle peut être rénumérotée en utilisant la méthode de dissection embôıtée, afin de permettre un calcul parallèle du préconditionneur et du processus itératif. Mots-clés : solveurs linéaires, méthode de sous-espaces de Krylov, préconditionnement, propriété de filtrage, décomposition incomplète par blocs Generalized Filtering Decomposition 3